关于涡流损耗的推导

最近在看梅晓榕老师的自动控制元件与线路(第五版),看到涡流损耗那里拼尽全力未能推出,四处检索未发现有人明确提及这个问题(或许是太简单了,又或者是我没看到).

花了不少时间后发现其实是磁场方向出了错误.为方便后来者遂写此篇.

对一个由厚度为 $d$ 的带绝缘薄膜的薄钢片叠压而成的铁芯,取一片将其置于交变磁场$B=B_m \sin (\omega t)$中进行研究,则其由于涡流发热产生的损耗是多少?已知其质地均匀,电阻率为$\rho$,体积为$V$,$h \gg d$,$l \gg d$.(注意此处不能将$h,l$视为已知量).假设磁导率为常数,不考虑其他损耗.

取如上图所示的黄色回路,容易有：

$\Phi = \displaystyle BS=B_m\sin(\omega t)\cdot 2hx$

这条回路的电阻$R$为:

$\text{d}R=\displaystyle \rho \frac{2(h+2x)}{l \cdot \text{dx} }$,由$h\gg d \ge 2x$,略去分子上的$2x$,可得:

$\text{d}R =\rho \displaystyle \frac{2h}{l \cdot \text{dx}}$

这条回路上的电动势$\varepsilon$为:

$\varepsilon = \displaystyle -\frac{\text{d}\Phi}{dt}=-2hx \omega B_m\cos(\omega t)$

整块铁芯的功率$P$:

$P= \displaystyle \int^{\frac{d}{2}}_0 \int^T_0 \frac{\varepsilon^2}{\text{d}R}\text{dt}$.

内层积分是十分简单的.不愿亲自计算这个积分也可以使用有效值的知识来解决.

总之,联立、化简有:

$P=\displaystyle \frac{hlB_m^2\omega^2}{\rho}\int^{\frac{d}{2}}_0x^2\text{dx}=\frac{hld^3B_m^2\omega^2}{24\rho}=\frac{\pi^2f^2B_m^2d^2V}{6\rho}$

此处需要提醒:$V=h\cdot l \cdot d$,$\omega = 2\pi f$

可以看到这个结果与梅老师书上给出的结果一致.