反馈连接的状态空间表达式

学校最近在讲现代控制理论，使用刘豹老师的教材。其中关于反馈连接状态空间表达式的推导语焉不详，遂自行推导。

考察初始状态空间表达式：

$$ \left\{\begin{matrix} \dot{X_1 }=A_1 X_1+B_1u_1\\ Y_1=C_1X_1+D_1u_1\\ \dot{X_2 }=A_2 X_2+B_2u_2\\ Y_2=C_2X_2+D_2u_2\\ \end{matrix}\right. $$

其中：

$$ \begin{align} &\left\{ \begin{aligned} &u_1 = u - Y_2 \\ &u_2 = Y_1 \end{aligned} \right. \end{align} $$

将其代入立刻有:

$$ \begin{align} &\left\{ \begin{aligned} &\dot{X_1 }=A_1 X_1+B_1(u-Y_2) \quad &①\\ &Y_1=C_1X_1+D_1(u-Y_2)\quad &②\\ &\dot{X_2 }=A_2 X_2+B_2Y_1\quad &③\\ &Y_2=C_2X_2+D_2Y_1\quad &④\\ \end{aligned} \right. \end{align} $$

联立②,④:

$$ \begin{align}Y_1&=C_1X_1+D_1(u-C_2X_2-D_2Y_1)\\ &=C_1X_1-D_1C_2X_2-D_1D_2Y_1+D_1u \\ \end{align}$$

$$ \Rightarrow (I+D_1D_2)Y_1=C_1X_1-D_1C_2X_2+D_1u \\ \Rightarrow Y_1=(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1-(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2X_2+(I+D_1D_2)^{-1}D_1u \tag{1} $$

将(1)代入④:

$$ \begin{align} Y_2&=C_2X_2+D_2Y_1\\ &=C_2X_2+D_2[(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1-(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2X_2+(I+D_1D_2)^{-1}D_1u]\\ &=D_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1+[C_2-D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2]X_2+D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1u \tag{2} \end{align} $$

将(2)代入①:

$$ \begin{align} \dot{X_1 }&=A_1 X_1+B_1(u-Y_2)\\ =&A_1 X_1+B_1u-B_1\{D_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1+[C_2-D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2]X_2+\\ &D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1u\} \\ =&[A_1-B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1]X_1+[B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2-B_1C_2]X_2+\\ &[B_1-B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1]u \end{align}\tag{3} $$

将(1)代入③:

$$ \begin{align} \dot{X_2 }=&A_2 X_2+B_2Y_1\\ =&A_2 X_2+B_2[(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1-(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2X_2+(I+D_1D_2)^{-1}D_1u]\\ =&B_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1X_1+[A_2-B_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2]X_2+B_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1u \tag{4} \end{align}$$

综上有:

$$ \mathcal{A}=\begin{pmatrix} A_1-B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1 & B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2-B_1C_2\\ B_2(I+D_1D_2)^{-1}C_1 & A_2-B_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2 \end{pmatrix}$$

$$ \mathcal{B}=\begin{pmatrix} B_1-B_1D_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1 \\ B_2(I+D_1D_2)^{-1}D_1 \end{pmatrix}$$

$$\mathcal{C}=\begin{pmatrix} (I+D_1D_2)^{-1}C_1 & -(I+D_1D_2)^{-1}D_1C_2 \end{pmatrix}$$

𝒟 = (I + D₁D₂)⁻¹D₁