关于FOC(field-oriented-control,磁场定向控制)

在学习这部分内容时遇到了巨大阻力：参考教材未提及、PPT语焉不详、缺少合理的可视化帮助理解。教学时数学推导被全部跳过，更导致了困惑。为加深自己理解，写下此文。

实际上，在了解过方波驱动的直流无刷电机基本原理及其优缺点后，引出正弦波驱动的交流伺服电机是自然的：联想此前的旋转磁场即可。下面给出一个来自BLDC 电机控制 - MATLAB & Simulink的美观动图来直观感受一下:

接下来的问题是，既然要控制，应该控制哪些量，控制目标是什么？显然，我们希望通过控制三相电流达到控制电机电磁转矩的目的。控制目标是使三相电产生的旋转磁场全部产生力矩（提高能量利用效率）。

控制三相电是困难的事：PID难以控制交流信号（当然可以使用其他控制器，但PID便宜好用）；难以确认使力矩最大对应的控制目标。因此，开始考虑进行一定的变换，使问题得到简化。

查看下面这个三相电流的示意图：

参考相量表示法，可将三相电流表示为三个相量。显然地，我们可以选择A相轴线为横轴(记作 $\alpha$ 轴)，垂直A相的轴为纵轴(记作$\beta$ 轴)，对B、C相的电流相量做正交分解。这种分解更类似一种归算，因此，要通过某种等价原则来判断是否等价，将各相的原绕组匝数等价为新绕组匝数，这将影响所谓的系数。此处等价的原则可选择：

• 磁动势幅值相等

• 磁动势功率相等

为了简单,我们首先把磁动势幅值相等作为等效原则，进行分解后列出如下：

$$N'\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}=N\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{A} \\ i_{B} \\ i_{C} \end{bmatrix} \tag{1}$$

其中$i_A=I_m\sin \omega t$ 简单代入,化简即可有：

$$\displaystyle \left\{\begin{matrix} i_{\alpha}=\frac{N}{N'}\frac{3}{2}I_m\sin \omega t\\ i_{\beta}=\frac{N}{N'}\frac{3}{2}I_m\sin \omega t \end{matrix}\right.$$

要使幅值相等，显然希望$\displaystyle \frac{N}{N'}=\frac{2}{3}$。这就是这个系数的来源

下面简单推导功率相等的情况：

$$N'\begin{bmatrix} U_{\alpha} \\ U_{\beta} \end{bmatrix}=N\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U_{A} \\ U_{B} \\ U_{C} \end{bmatrix} \tag{2}$$

$$i_A+i_B+i_C=0 \tag{3}$$

$$P'=\begin{bmatrix} U_{\alpha} & U_{\beta} \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}\\ P=\begin{bmatrix} U_{A} & U_{B} & U_{C} \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} i_{A} \\ i_{B} \\i_{C} \end{bmatrix} \tag{4}$$

当然希望 $\displaystyle P'=P$，联立推得：

$$\displaystyle P'= \left(\frac{N}{N'}\right)^2\frac{3}{2}P$$

显然希望$\displaystyle \frac{N}{N'}=\sqrt\frac{2}{3}$，这就是这个系数的来源。

等幅值变换后的示意图如下：

上面的变换就是所谓的Clarke变换，也叫 $\alpha-\beta$ 变换。

完成这一步变换后，已经大大简化了问题，但PID控制器难以控制交流电的问题仍然存在，是否能通过某种方式将其变换为直流电的控制问题呢？

答案是肯定的。既然我们的电相量正以角速度 $\omega$ 旋转，只要选择同样以角速度 $\omega$ 旋转的正交坐标系，二者便相对静止,能够被正交分解为若干分量。接下来分析这个坐标系的选取。

回顾前文，我们的控制目标之一是使得产生的力矩最大。这样,坐标系的选取就很明显了：沿转子磁场的方向称为直轴（direct，d），垂直于此方向称为交轴（quatrature，q），则此时建立了dq坐标系。要使力矩最大，应该使定子磁场强弱不变的情况下，直轴上的磁场尽可能弱，交轴上的磁场尽可能强。此处应该指出，在同步电机的工作点上，同步转速=转子转速=旋转磁场转速=dq坐标系转速。至于转速尚未同步的阶段，并非本文研究的内容，请参考“无感启动”相关内容。总之，这样选择的dq坐标系是合理的。

参考线性代数中的旋转矩阵，立刻有：

$$\begin{bmatrix} i_{d} \\ i_{q} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos \theta &\sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} \tag{5}$$

显然，我们的控制目标是：

$$|i_d|=0,|i_q|=\sqrt{i^2_{\alpha}+i^2_{\beta}}$$

当然应该指出的是，此处 $\theta=\omega t+\theta_0$ 是 $t$ 时刻d 与 $\alpha$轴所夹角。

下面给出一张磁场定向控制 - MATLAB & Simulink提供的示意图。注意观察其中变换、逆变换，控制量、误差量的关系。