关于Bode积分定理

近日学习至此。这个定理的证明实际并不太容易，但王广雄老师《控制系统设计》上已经给出比较好的证明思路，我们可以考虑在此基础上开展工作。

下面首先给出这个定理的描述：

设开环传递函数$L(s)$有$N$个不稳定极点$p_1,p_2,\cdots,p_N$，开环传递函数的相对阶为$\nu = n- m$，并设闭环系统稳定，则系统的灵敏度函数满足下列关系式：

$$\int_0^{\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega=\pi\sum^N_{i=1}\text{Re}(p_i),\nu>1\tag{1}\\$$

$$\int_0^{\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega=-\gamma \frac \pi 2 +\pi\sum^N_{i=1}\text{Re}(p_i),\nu=1 \tag{2}\\$$

其中$n$为传递函数$L(s)$分母的阶次，$m$为分子的阶次，$\gamma=\lim_{s\rightarrow\infty}sL(s)$

观察这个形式容易发现，实际上只要证明(2)式正确，则(1)显然成立，这个相对阶约束是不必要的。

研究前应该指出的是务必注意复对数与实对数有着本质区别，如多值性、分支点等。

请注意：接下来的证明使用 $\log$ 表示复自然对数，$\ln$ 表示实自然对数。

观察会发现，开环传递函数的极点 $p$ 变为了灵敏度函数 $S$ 的零点，这将导致 $\ln|S(s)|$ 在右半平面不解析，为了避免这一点，我们构造：

$$\tilde{S}(s)=S(s)\prod_{p\in P} \frac{s+p}{s-p}$$

来抵消其零点，其中 $P$ 是开环传递函数右半平面极点构成的集合。这就保证了 $\ln \tilde{S}$ 在右半平面的解析性。下面对其进行积分。我们自然地考虑选择一个简单闭曲线$C$，它在$y$轴上，从$-\infty$到$\infty$，再从右半平面无穷远顺时针画一个半圆回来：

$$\begin{align}\underbrace{\oint_C\log\tilde{S}(s)\text{d}s}_{柯西又救了我们}&=2j\underbrace{\int_0^{+\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega}_{想算这个}+\underbrace{\oint_{\text{RHP}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s}_{不得不算的右侧第二个积分}+\underbrace{\int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s}_{不得不算的右侧第三个积分}\end{align}$$

根据柯西积分定理，上式等号左侧为0，右侧第一个积分是我们想求解的内容，因此重点求解第2、3个积分。先来看第二个积分：

$$\oint_{\text{RHP}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s$$

请注意：这里不能简单地使用留数定理来求解，这是因为此处包含对数，函数在任何一个 $p\in P$ 的邻域中都不是单值的。我们不得不将其拆解为虚轴和无穷远半圆并求解：

$$\begin{align} \oint_{\text{RHP}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s &=j\int_{-\infty}^{+\infty}\log\prod_{p\in P}\frac{j\omega+p}{j\omega-p}\text{d}\omega+\int_{C_{\infty}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s\\\end{align}$$

实际上很容易看出$j\int_{-\infty}^{+\infty} \log\prod_{p\in P}\frac{j\omega+p}{j\omega-p}\text{d}\omega=0$，简单说明原因：将对数作用后，拆解为求和，交换求和和积分的顺序，研究对一个极点的积分，发现 $|\frac{j\omega+p}{j\omega-p}|\equiv1$，又知其相角在正负频段共轭，因此这个积分为0。

也许有些抽象(实则是我也不知道对不对)。总之我们还是计算一下：

$$\begin{align}j\int_{-\infty}^{+\infty}\log\prod_{p\in P}\frac{j\omega+p}{j\omega-p}\text{d}\omega&=j\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_{p\in P}\log\frac{j\omega+p}{j\omega-p}\text{d}\omega\\&=j\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_{p\in P}\left[\ln|\frac{j\omega+p}{j\omega-p}|+j\arg(\frac{j\omega+p}{j\omega-p})\right]\text{d}\omega\\ &=0\end{align}$$

也许这一步跳的有点多。此处的重点是函数 $f(\omega)=\arg(\frac{j\omega+p}{j\omega-p})$ 是一个奇函数，使用几何直观很容易理解。但鉴于笔者低下的直观能力，不妨验证一下。

$f(-\omega)=\arg(\frac{-j\omega+p}{-j\omega-p})=\arg(\frac{j\omega-p}{j\omega+p})=\arg(\frac{1}{\frac{j\omega+p}{j\omega-p}})=-\arg(\frac{j\omega+p}{j\omega-p})=-f(\omega)$

真是件好事，我们现在可以欣喜且信心十足地认为这个积分为0了。现在我们来处理无穷远半圆上的积分。

$$\begin{align}\int_{C_{\infty}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s&=\int_{C_{\infty}}\sum_{p \in P}\log\frac{s+p}{s-p}\text{d}s\\&=\int_{C_{\infty}}\sum_{p \in P}\left[\log(1+\frac{p}{s})-\log(1-\frac{p}{s})\right]\text{d}s\\&=\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\sum_{p \in P}\left[\log(1+\frac{p}{Re^{j\theta}})-\log(1-\frac{p}{Re^{j\theta}})\right]jRe^{j\theta}\text{d}\theta \\&=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\sum_{p \in P}2\text{} pj\text{d}\theta=-\sum_{p \in P}2\pi jp\end{align}$$

这里我要指出：最后一步的交换只在不稳定极点个数有限时成立，请不要滥用交换。细节决定成败，在上面的研究中，你应该知道：

• $\lim_{x\rightarrow0}\ln(1+x)=x$

• 积分路径的方向

终于，我们可以来研究 $\int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s$了。记开环传递函数为 $L(s)$，我们有：

$$\begin{align}\int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s&=\int_{C_{\infty}}-\log(1+L(s))\text{d}s\\&=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}-\log(1+L(Re^{j\theta}))jRe^{j\theta} \text{d}\theta\end{align}$$

在相对阶 $\nu \ge 2$时，$\lim_{R\rightarrow\infty}L(Re^{j\theta})=0$，$\int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s=0$ 是明显的。

在相对阶 $\nu = 1$时，设此时有 $\lim_{s\rightarrow\infty}sL(s)=\gamma$，有：

$$\begin{align} \int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s&=\int_{C_{\infty}}-\log(1+L(s))\text{d}s\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}-\log(1+L(Re^{j\theta}))jRe^{j\theta} \text{d}\theta\\ &=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}j\gamma\text{d}\theta\\ &=\pi j \gamma \end{align}$$

整理一下成果：

$$\begin{align} \oint_C\log\tilde{S}(s)\text{d}s&=2j\int_0^{+\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega+\oint_{\text{RHP}}\log\prod_{p\in P}\frac{s+p}{s-p}\text{d}s+\int_{C_{\infty}}\log S(s)\text{d}s\\ 0&=2j\int_0^{+\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega-\sum_{p \in P}2\pi jp+\delta(\nu,1)\pi j \gamma\\ \int_0^{+\infty}\ln |S(j\omega)|\text{d}\omega&=\sum_{p \in P}\pi p-\delta(\nu,1)\frac{\pi}2 \gamma \end{align}$$

其中 $\delta$ 是Kronecker函数。这正是Bode积分定理的内容。

请注意，上面的证明过程不需掌握，只需记忆结论即可。（2025秋及以前情况，不构成复习建议）